Vecteurs, produits scalaire et vectoriel

Fondamental

Pour les sciences de l'ingénieur, comme en physique, les vecteurs sont grandement utilisés : ils permettent de modéliser des grandeurs comme une force, une vitesse, une accélération, une quantité de mouvement ou certains champs (électrique, magnétique, gravitationnel…).

Notations et vocabulaire

Un vecteur, c'est :

  • un point d'application ;

  • une direction (une droite orientée) ou support ;

  • un sens (+ ou - sur l'axe défini par la droite orientée) ;

  • une norme (ou intensité) : valeur positive \(\|\vec{V} \|\) exprimée dans l'unité de la grandeur physique étudiée.

Son expression : \(\vec{V}=\pm \|\vec{V} \| \cdot \vec{u}\)

  • avec \(\vec{u}\) : axe de la droite orientée

Ecriture cartésienne

Convention d'écriture

Dans une base \(b\, (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\), on peut exprimer un vecteur \(\vec{V}\) de différentes manières :

  • par ses composantes :

    \(\boxed{\large{\vec{V} = x_V \cdot \vec{x} + y_V \cdot \vec{y} + z_V \cdot \vec{z}}}\)

  • par ses coordonnées :

    \(\boxed{\large{\vec{V} = \begin{pmatrix} x_V \\ y_V \\ z_V \end{pmatrix}}_b}\)

    La base doit être précisée si ambiguïté.

Détermination des composantes

La connaissance des coordonnées de deux points \(A\,(x_A, y_A)\) et \(B\,(x_B, y_B)\) dans un repère \(R\) permet de définir les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :

\(\boxed{ \large{ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}}}\)

Détermination de la norme

La norme (ou l'intensité) d'un vecteur se détermine par la relation :

\(\boxed{ \large{ \|\vec{V} \| = V = \sqrt{x^2_V+y^2_V+z^2_V} \geq 0}}\)

La norme est nulle ou strictement positive !

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs donne un scalaire (= un nombre), il est défini par la relation :

\(\boxed{ \large{ \vec{U} \cdot \vec{V} = \|\vec{U} \| \times \|\vec{V} \| \times \cos(\widehat{\vec{U} , \vec{V}})}}\)

Calculs en composantes cartésiennes

\(\vec{U} \cdot \vec{V} = x_U \times x_V +y_U \times y_V + z_U \times z_V\)

Propriétés

  • \(\vec{U} \perp \vec{V} \Leftrightarrow \vec{U} \cdot \vec{V} = 0\)

  • \(\vec{U} \cdot \vec{V} = \vec{V} \cdot \vec{U}\) (commutatif)

  • \(a\vec{U} \cdot b\vec{V} = ab(\vec{U} \cdot \vec{V})\)

Produit vectoriel

C'est le produit entre deux vecteurs qui donne un autre vecteur \(\vec{W}\) perpendiculaire (on dit aussi « normal ») au plan \(( \vec{U}, \vec{V} )\).

Sa norme se définit par la relation :

\(\boxed{ \large{ \| \vec{W} \| = W = \|\vec{U} \wedge \vec{V} \| = \|\vec{U} \| \times \|\vec{V} \| \times \sin(\widehat{\vec{U} , \vec{V}})}}\)

Calculs en composantes cartésiennes

\(\vec{U} \wedge \vec{V} = \begin{pmatrix} x_U \\ y_U \\ z_U \end{pmatrix}_b \wedge \begin{pmatrix} x_V \\ y_V \\ z_V \end{pmatrix}_b = \begin{pmatrix} y_U \times z_V - z_U \times y_V \\ z_U \times x_V - x_U \times z_V \\ x_U \times y_V - y_U \times x_V \end{pmatrix}_b\)

Propriétés

  • \(\vec{U} \parallel \vec{V} \Leftrightarrow \vec{U} \wedge \vec{V} = \vec{0}\)

  • \(\vec{U} \wedge \vec{V} = - \vec{V} \wedge \vec{U}\) (non commutatif)

  • \(a\vec{U} \wedge b\vec{V} = ab(\vec{U} \wedge \vec{V})\)

  • \((\vec{U} \wedge \vec{V}) \wedge \vec{W} = \vec{U} \wedge (\vec{V} \wedge \vec{W})\) (non associatif)

Dans une base \(b\,(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\) orthonormée directe, on a les relations :

  • \(\vec{x} \wedge \vec{y} = \vec{z}\)

  • \(\vec{y} \wedge \vec{z} = \vec{x}\)

  • \(\vec{z} \wedge \vec{x} = \vec{y}\)